Foto en blanco y negro de un goniómetro em sistema sexagesimal, herramienta utilizada para la medición de ángulos
Goniómetro (Foto: Der Sekretar)

El sistema sexagesimal: suma, resta y conversión a sistema decimal

En esta breve entrada aprenderemos suma, resta y otros cálculos en sistema sexagesimal, y explicaremos como convertir valores de sistema decimal a sexagesimal y viceversa. Es un conocimiento muy útil porque nos permite efectuar de forma más consciente los cálculos relativos al tiempo, y a todas las medidas angulares como, por ejemplo, los valores medidos utilizando una brújula o la declinación magnética.

Qué es el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que utiliza la base 60. En este sistema, cada posición a la derecha del punto decimal representa una potencia de 60.

El sistema sexagesimal tiene como unidad de base el grado sexagesimal, que se obtiene dividiendo un ángulo recto en 90 partes iguales. Sus submúltiplos son el minuto sexagesimal, que se obtiene dividiendo el grado en 60 partes iguales, y el segundo sexagesimal, que se obtiene dividiendo el minuto en 60 partes iguales. Cuando se necesitan medidas más pequeñas, se utiliza la fracción decimal del segundo, que se obtiene dividiendo el segundo en diez partes. Este sistema parece tener su origen en la remota Sumer, y ha sido utilizado históricamente en varias culturas y contextos para medir el tiempo y los ángulos.

El sistema sexagesimal se utiliza comúnmente para medir ángulos, especialmente en geometría y navegación; un ejemplo son las medidas de latitud y longitud y la graduación de las brújulas. Un grado se divide en 60 minutos, y cada minuto se subdivide en 60 segundos. Por ejemplo, un ángulo de 45 grados se puede expresar como 45° 0′ 0″, que significa 45 grados, 0 minutos y 0 segundos.

La división del tiempo en horas, minutos y segundos también sigue el sistema sexagesimal. Una hora se divide en 60 minutos, y cada minuto se subdivide en 60 segundos.

Origen e historia del sistema sexagesimal

El origen y comienzo de la historia del sistema sexagesimal se sitúa en aquella medialuna fértil que fue una gran fragua de historia. El sistema sexagesimal fue inventado por los babilonios y es notable por dos razones: por un lado, es un sistema que combina números de base 10 y 60, y por otro, es un sistema posicional que de alguna manera anticipa el moderno sistema de numeración. El sistema sexagesimal babilónico derivó a su vez del sistema aditivo utilizado por los sumerios (las primeras registraciones contables datan aproximadamente del 3200-3100 a.C.), que tenía una base mixta (10 y 60), y luego de los acadios (las tablillas más antiguas disponibles con el sistema sexagesimal datan aproximadamente del 2100-2000 a.C.), quienes introdujeron la base 60, pero los babilonios añadieron la idea del sistema posicional, que, según lo que sabemos, es el primer ejemplo histórico. Las razones que llevaron a adoptar esta base en lugar de la más común de base 10 no están claras y existen varias hipótesis al respecto; algunos estudiosos vinculan esta elección con motivos astronómicos, otros con la simplicidad de cálculo debido al mayor número de divisores de la base 60 que facilitaría las operaciones de división, mientras que otros explican la elección con el uso de sistemas de medición particulares. Los griegos adaptaron el sistema sexagesimal babilónico a su sistema alfabético para utilizarlo en la medida de los ángulos y en el ámbito astronómico, sistema que luego fue transmitido al mundo occidental a través de la cultura latina y árabe; el gran pensador árabe Al-Kashi (aprox. 1380-1429) discutió el sistema sexagesimal en el tercer libro de su obra «La clave del álgebra», dedicada a los métodos de cálculo de los astrónomos. El hecho de que la base del sistema fuera 60 no implica que usaran 60 dígitos en una analogía estricta con nuestro sistema actual. Los dígitos del sistema sexagesimal (del 1 al 59) estaban estructurados y, en particular, se escribían mediante un mecanismo aditivo basado en el uso de solo dos símbolos, uno para las unidades y otro para las decenas, combinados de diversas formas, serían ilegibles para nosotros hoy día. Sin embargo, aún hoy en día encontramos rastros del uso de la base 60 en nuestros sistemas de numeración para medir el tiempo y los ángulos, clara herencia de un pasado remoto que todavía vive.

Resta y Suma en el sistema sexagesimal

Como hemos visto, la base de este sistema es el 60, esto quiere decir que cuando operamos, una vez alcanzado el 60, es como si todo volviese a 0, y obtenemos una unidad del tamaño siguiente. Como en el sistema decimal comenzaremos las operaciones desde la unidad más pequeña, en segundo. Unos ejemplos aclararán todo.

Ejemplo 1: suma en sistema sexagesimal

Hagamos la siguiente suma: 4°21´ 50´´ + 3° 49´ 10´´. Primero opero sumando los segundos: 50+10=60. El resultado es 60 segundos, en este caso hemos llegado a 60 obteniendo una unidad del tamaño siguiente, o sea 1 minuto quedándonos 0 segundos. Opero luego con con los minutos sumando 21+49 y añadiendo luego el minuto obtenido por la suma de los segundos, o sea: 21+49+1= 71 minutos. 71 minutos equivalen a 1° quedándonos 11 minutos. Finalmente opero con los grados sumando 4+3 y añadiendo luego el grado obtenido por la suma de los minutos, o sea: 4+3+1=8. El resultado final será entonces 8° 11´00´´.

Ejemplo 2: resta en sistema sexagesimal

Hagamos la siguiente operación: 28° 14´39´´- 13°40´58´´. Primero opero con los segundos; en este caso, siendo 39 menor que 58 tendré que coger un minuto de los 14, transformarlo en segundos, sumarlo a 39 y en fin operar, o sea: 60+39= 99; 99-58= 41 segundos. Opero ahora con los minutos; me han quedado 13 al que tengo que restar 40; como antes tomo un grado, lo convierto en minutos, los sumo a 13 y luego opero, o sea: 60+13= 73; 73-40= 33 minutos. Faltan solo los grados, me han quedado 27 a los que resto 13, o sea: 27-13=14 grados. El resultado final es: 14°33´41´´.

Convertir de sistema sexagesimal al decimal

Convertir una medida sexagesimal a decimal es una operación muy sencilla:

  1. Los grados permanecen igual.
  2. Los minutos se dividen por 60.
  3. Divide la cantidad de segundos por 3600
  4. Suma los resultados obtenidos en los pasos anteriores.
  5. Redondea si quieres

Ejemplo 3

Supongamos que tienes el ángulo 45° 30′ 15″ , seguimos los pasos mencionadas anteriormente

  • de Grados a Decimal: 45° (sin cambios)
  • de Minutos a Decimal: 30′ / 60 = 0.5.
  • de Segundos a Decimal: 15″ / 3600 = 0.0041667.

Sumando los resultados: 45 + 0.5 + 0.0041667 = 45.5041667, que redondeado sería 45.50

Ejemplo 4

Para convertir el ángulo 347°54′ 37» al sistema decimal las cosas no cambian:

  • de Grados a decimal 347 (Sin cambios)
  • de Minutos a Decimal: 54′ / 60 = 0.9
  • de Segundos a Decimal: 37» / 3600 = 0.0102778

sumando los resultados: 347+ 0.9 + 0.0102778 = 347.9102778, que redondeado sería 347.910

Ejemplo 5

Para convertir un horario a decimal el procedimiento no cambia. Pongamos que sean las 11:24:39, para convertir esta hora a decimal:

  • de Hora a decimal 11 (Sin cambios)
  • de Minutos a Decimal: 24/ 60 = 0.46
  • de Segundos a Decimal: 39 / 3600 = 0.01083333600

sumando los resultados: 11 + 0.46 + 0.01083333600 = 11.470833336, que redondeado sería 11.47

Convertir de sistema decimal a sexagesimal

Los pasos a seguir para convertir un número decimal a sexagesimal son:

  • La parte entera del número decimal es la cantidad de grados y no varía
  • La parte decimal del número decimal representa los minutos en formato sexagesimal. Multiplica esta parte decimal por 60 para obtener los minutos.
  • La parte entera del resultado obtenido en el paso anterior será la cantidad de minutos en formato sexagesimal, mientras que la parte decimal tendrás que multiplicarla otra vez por 60 y serán los segundos

Un ejemplos hará todo más claro.

Ejemplo 6


Supongamos que tienes el número decimal 37.819:

  • Grados: La parte entera es 37 grados.
  • Minutos: Son la parte decimal del número que estamos convirtiendo multiplicada por 60, o sea: 0.819×60=49.14. Extraes la parte entera de este resultado, 49, y tienes los minutos.
  • Segundos: Se toma la parte decimal del resultado anterior y se multiplica por 60: 0.14×60=8.4. Extraes la parte entera, 8, y tendrás los segundos. Los segundos pueden tener decimales en el proceso de conversión, se redondean según la precisión que desees conservar.

Entonces, la conversión de 37.819 a sistema sexagesimal es: 37°49»8′

Conclusión

Sobre todo para quienes viajamos a pie o en bicicleta, es de suma importancia conocer el funcionamiento del sistema sexagesimal, porque es el sistema de medida utilizado en las coordenadas geográficas y en la graduación de las mayorías de las brújulas, además nos facilita la tarea de convertir la hora local a UTC teniendo en cuenta la longitud exacta. Pues al final hemos llegado, pero el viaje todavía no ha acabado. Hasta pronto.

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Viaje a Edén es una progresiva liberación, una progresiva perdida de peso, el rechazo a lo innecesario, a la dura presencia de los objetos, en un intento constante de controlar el miedo hasta liberarnos; como un andar incierto que se convierte en pasos largos carrera salto: la verdad, si verdad hay, es un ademán. Estás leyendo una búsqueda, un intento de crear, encontrar o volver a un Edén, a un lugar donde ser nosotros mismos, en plenitud de cuerpo y espíritu, en armonía con el mundo, con sus ritmos, sus leyes que no se cuidan del calendario humano, siempre y solo miran al Sol.

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