En esta breve entrada aprenderemos suma, resta y otros cálculos en sistema sexagesimal, y explicaremos como convertir valores de sistema decimal a sexagesimal y viceversa.
Es un conocimiento muy útil para viajeros exploradores y montañistas, porque nos permite efectuar los cálculos relativos al tiempo y a otras magnitudes utilizadas en la orientación.
- Qué es el sistema sexagesimal
- Suma y resta en el sistema sexagesimal
- Convertir de sistema sexagesimal a decimal
- Convertir de sistema decimal a sexagesimal
- Utilidad para viajeros, montañistas y exploradores
- Conclusión
Qué es el sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que utiliza la base 60. En este sistema, cada posición a la derecha del punto decimal representa una potencia de 60.
Su unidad de base es el grado sexagesimal, que se obtiene dividiendo un ángulo recto en 90 partes iguales. Sus submúltiplos son el minuto sexagesimal, que se obtiene dividiendo el grado en 60 partes iguales, y el segundo sexagesimal, que se obtiene dividiendo el minuto en 60 partes iguales.
Cuando se necesitan medidas más pequeñas, se utiliza la fracción decimal del segundo, que se obtiene dividiendo el segundo en diez partes.
Ejemplo: un ángulo de 45 grados se puede expresar como 45° 0′ 0″, que significa 45 grados, 0 minutos y 0 segundos.
Campos de aplicación
El sistema sexagesimal se utiliza comúnmente para medir ángulos, especialmente en geometría y navegación; un ejemplo son las medidas de latitud y longitud y la graduación de las brújulas. Un grado se divide en 60 minutos, y cada minuto se subdivide en 60 segundos.
La división del tiempo en horas, minutos y segundos también sigue el sistema sexagesimal.
Origen e historia del sistema sexagesimal
El sistema mixto de los sumerios
El origen y comienzo de la historia del sistema sexagesimal se sitúa en aquella medialuna fértil que fue una gran fragua de historia. Su origen fue un sistema aditivo utilizado por los sumerios. Los testigos más antiguos son registraciones contables que datan aproximadamente del 3200-3100 a.C. Este sistema tenía una base mixta (10 y 60)
Los acadios introducen la base 60
Los acadios (2334 a. C. – 2154 a. C.) un pueblo semita de breve duración pero de gran exuberancia cultural, retomaron el sistema aditivo de los sumerios introduciendo la base 60, característica fundamental del sistema sexagesimal.
Las razones que llevaron a adoptar esta base en lugar de la más común de base 10 no están claras y existen varias hipótesis al respecto:
- motivos astronómicos
- la simplicidad de cálculo debido al mayor número de divisores de la base 60
- el uso de sistemas de medición particulares.
Los babilonios y la invención del sistema sexagesimal
La brillante Babilonia, ciudad del mito y de la historia, heredaron el sistema de los acadios desarrollándolo como sistema posicional. Era la primera vez en la historia que se utilizaba un concepto de este tipo; según lo que sabemos, es el primer ejemplo histórico de sistemas de este tipo.
Desde entonces, hablamos de unos 4.000 años, este sistema sigue vigente y operante en el mundo sin apenas modificaciones.
Desde la medialuna fértil al occidente
Los griegos adaptaron el sistema sexagesimal babilónico a su sistema alfabético para utilizarlo en la medida de los ángulos y en el ámbito astronómico. Los latinos lo aprendieron desde los griegos. Finalmente los árabes lo absorbieron en su propia cultura para transmitirlo al occidente medieval.
El gran pensador árabe Al-Kashi (aprox. 1380-1429) discutió el sistema sexagesimal en el tercer libro de su obra “La clave del álgebra”, dedicada a los métodos de cálculo de los astrónomos. El hecho de que la base del sistema fuera 60 no implica que usaran 60 dígitos en una analogía estricta con nuestro sistema actual. Los dígitos del sistema sexagesimal (del 1 al 59) estaban estructurados y, en particular, se escribían mediante un mecanismo aditivo basado en el uso de solo dos símbolos, uno para las unidades y otro para las decenas, combinados de diversas formas, serían ilegibles para nosotros hoy día.
Sin embargo, aún hoy en día encontramos rastros del uso de la base 60 en nuestros sistemas de numeración para medir el tiempo y los ángulos, clara herencia de un pasado remoto que todavía vive.
Resta y Suma en el sistema sexagesimal
Como hemos visto, la base de este sistema es el 60, esto quiere decir que cuando operamos, una vez alcanzado el 60, es como si todo volviese a 0, y obtenemos una unidad del tamaño siguiente. Como en el sistema decimal comenzaremos las operaciones desde la unidad más pequeña, en segundo. Unos ejemplos aclararán todo.
Ejemplo 1: suma en sistema sexagesimal
Hagamos la siguiente suma: 4°21´ 50´´ + 3° 49´ 10´´. Primero opero sumando los segundos: 50+10=60. El resultado es 60 segundos, en este caso hemos llegado a 60 obteniendo una unidad del tamaño siguiente, o sea 1 minuto quedándonos 0 segundos. Opero luego con con los minutos sumando 21+49 y añadiendo luego el minuto obtenido por la suma de los segundos, o sea: 21+49+1= 71 minutos. 71 minutos equivalen a 1° quedándonos 11 minutos. Finalmente opero con los grados sumando 4+3 y añadiendo luego el grado obtenido por la suma de los minutos, o sea: 4+3+1=8. El resultado final será entonces 8° 11´00´´.
Ejemplo 2: resta en sistema sexagesimal
Hagamos la siguiente operación: 28° 14´39´´- 13°40´58´´. Primero opero con los segundos; en este caso, siendo 39 menor que 58 tendré que coger un minuto de los 14, transformarlo en segundos, sumarlo a 39 y en fin operar, o sea: 60+39= 99; 99-58= 41 segundos. Opero ahora con los minutos; me han quedado 13 al que tengo que restar 40; como antes tomo un grado, lo convierto en minutos, los sumo a 13 y luego opero, o sea: 60+13= 73; 73-40= 33 minutos. Faltan solo los grados, me han quedado 27 a los que resto 13, o sea: 27-13=14 grados. El resultado final es: 14°33´41´´.
Convertir de sistema sexagesimal al decimal
Convertir una medida sexagesimal a decimal es una operación muy sencilla:
- Los grados permanecen igual.
- Los minutos se dividen por 60.
- Divide la cantidad de segundos por 3600
- Suma los resultados obtenidos en los pasos anteriores.
- Redondea si quieres
Ejemplo 3
Supongamos que tienes el ángulo 45° 30′ 15″ , seguimos los pasos mencionadas anteriormente
- de Grados a Decimal: 45° (sin cambios)
- de Minutos a Decimal: 30′ / 60 = 0.5.
- de Segundos a Decimal: 15″ / 3600 = 0.0041667.
Sumando los resultados: 45 + 0.5 + 0.0041667 = 45.5041667, que redondeado sería 45.50
Ejemplo 4
Para convertir el ángulo 347°54′ 37” al sistema decimal las cosas no cambian:
- de Grados a decimal 347 (Sin cambios)
- de Minutos a Decimal: 54′ / 60 = 0.9
- de Segundos a Decimal: 37” / 3600 = 0.0102778
sumando los resultados: 347+ 0.9 + 0.0102778 = 347.9102778, que redondeado sería 347.910
Ejemplo 5
Para convertir un horario a decimal el procedimiento no cambia. Pongamos que sean las 11:24:39, para convertir esta hora a decimal:
- de Hora a decimal 11 (Sin cambios)
- de Minutos a Decimal: 24/ 60 = 0.46
- de Segundos a Decimal: 39 / 3600 = 0.01083333600
sumando los resultados: 11 + 0.46 + 0.01083333600 = 11.470833336, que redondeado sería 11.47
Convertir de sistema decimal a sexagesimal
Los pasos a seguir para convertir un número decimal a sexagesimal son:
- La parte entera del número decimal es la cantidad de grados y no varía
- La parte decimal del número decimal representa los minutos en formato sexagesimal. Multiplica esta parte decimal por 60 para obtener los minutos.
- La parte entera del resultado obtenido en el paso anterior será la cantidad de minutos en formato sexagesimal, mientras que la parte decimal tendrás que multiplicarla otra vez por 60 y serán los segundos
Un ejemplos hará todo más claro.
Ejemplo 6
Supongamos que tienes el número decimal 37.819:
- Grados: La parte entera es 37 grados.
- Minutos: Son la parte decimal del número que estamos convirtiendo multiplicada por 60, o sea: 0.819×60=49.14. Extraes la parte entera de este resultado, 49, y tienes los minutos.
- Segundos: Se toma la parte decimal del resultado anterior y se multiplica por 60: 0.14×60=8.4. Extraes la parte entera, 8, y tendrás los segundos. Los segundos pueden tener decimales en el proceso de conversión, se redondean según la precisión que desees conservar.
Entonces, la conversión de 37.819 a sistema sexagesimal es: 37°49”8′
Utilidad para viajeros, montañistas y exploradores
No se trata solo de matemática o pura curiosidad, saber ejecutar cálculos y conversiones en sistema sexagesimal es de fundamental importancia para viajeros, montañistas y exploradores:
- El círculo de la Rosa de los Vientos y el cuadrante de la brújula están graduados en sistema sexagesimal: cualquier tarea de orientación que requiere una de estas dos herramientas, por ejemplo el cálculo de la declinación magnética, necesita el conocimiento de este sistema.
- Todas las técnicas de orientación sin brújula se basan en el cálculo de ángulos, hora UTC, altitud angular, latitud y longitud y otras magnitudes que se miden con este sistema.
- Durante la navegación o la exploraciones o viajes en grupos, los rumbos no solo se leen sino se enuncian siempre y solo en grados sexagesimales.
Conclusión
La matemática es una herramienta trasversal, que soporta todas las artes y la ciencia, incluso el viaje y la navegación. Cómo vimos muchas de las tareas que son el pan diario de exploradores, viajeros y montañistas, necesitan cálculos en el sistema sexagesimal o su conversión a sistema decimal.
El viaje y la orientación son artes que se enfrentan a la hermosa anchura del horizonte. Cada vez que colgamos la mochila en la espalda estamos solos frente a los caprichos del destino y del mundo: no solo necesitamos de buenos zapatos sino de buenas herramientas mentales. Entre ellas los cálculos matemáticos, no solo en sistema sexagesimal, nos son indispensables.
Pues hemos llegado al final, pero cuando se trata de viaje, el final es solo otro comienzo.
Hasta pronto.
Escrito por Gabriele Burchielli
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